Ecco il secondo appuntamento con Claudio Giulianelli del CEMER (Centro Meteo per l’Etruria e Roma), il lavoro parte riprendendo le equazioni di Eulero.

Facciamo notare da subito che lo studio dei moti atmosferici su larga scala è un problema a geometria sferica. Questo complica la matematica ed in generale lavoreremo in coordinate cartesiane finchè sarà possibile senza commettere grossi errori. Parleremo dunque di venti “sul piano” x,y invece che sulla sfera.

L’equazione sopra in generale descrive l’evoluzione del campo di velocità nel tempo (derivata temporale, primo termine) e la variazione nello spazio (derivate spaziali, secondo termine detto “avvettivo”), evoluzione che dipende solo dai gradienti di pressione e forze esterne. è il caso per esempio di un fiume che scorre dal monte verso il mare sotto la forza di gravità. L’equazione descrive dunque un semplice trasferimento di materia da un capo all’altro. Dire che questa equazione vale in atmosfera vorrebbe dire allora che, essendo maggiore la pressione alle basse latitudini a quota fissata (l’atmosfera ha un’altezza di scala maggiore. O anche coerentemente con la nostra trattazione delle medio-alte quote, si pensi all’altezza geopotenziale) e minore ai poli, dall’equatore l’aria dovrebbe fluire verso i poli costantemente perchè l’attività convettiva equatoriale porterebbe sempre aria in quota che per il gradiente di pressione si riverserebbe sui poli. L’atmosfera dunque con questa equazione dovrebbe essere tutta concentrata sui poli! Ma non abbiamo sbagliato tutto, piuttosto notiamo che a scongiurare questa situazione ci pensa un’altra forza, che è la forza di Coriolis. Se immaginate infatti il flusso simile a un fiume che scorre dall’equatore al polo, e poi ci mettete la rotazione terrestre, questo flusso da sud a nord prende una componente ovest-est (la direzione in cui ruota un punto sulla superficie terrestre), confinando dunque la massa d’aria intertropicale e mantenendo dunque l’atmosfera più alta all’equatore senza che si svuoti e si riversi tutto sui poli. Come sappiamo una circolazione meridionale su larga scala esiste, infatti si parla di “celle” di hadley,di ferrel,e polare. Si tratta comunque di moti medi decisamente più piccoli di quelli zonali, al punto che sulle carte quotidiane della pressione non si riesce a vederli, ma solo facendo una media dei venti su lungo tempo (settimane).

Dobbiamo allora inserire Coriolis in questa equazione. Infatti l’equazione di Eulero sopra scritta vale in un sistema di riferimento inerziale. La Terra non lo è, e dunque pure se l’atmosfera fosse totalmente ferma, un suo punto qualsiasi avrebbe comunque una velocità angolare Ω di rotazione attorno all’asse terrestre. La velocità di un punto della nostra atmosfera sarà data dunque dalla somma di due componenti, una nel sistema di riferimento della terra Vr, e l’altra è la velocità angolare di rotazione:V=Vr+Ωxr. Nell’introdurre questa informazione nella nostra equazione vettoriale, dobbiamo vedere come riscrivere le accelerazioni, le quali compaiono nell’equazione di Eulero. Dunque dovremo fare la derivata temporale di questa nuova velocità, e la derivata di ognuna delle due componenti ci darà altre due componenti dell’accelerazione: vediamo nel dettaglio cosa succede.

Dell’equazione di Eulero,per comodità riassumiamo il membro di sinistra dell’equazione sotto il segno di derivata totale nel tempo (ricordiamo brevemente che essendo il campo di velocità funzione del tempo e delle tre coordinate spaziali,la derivata temporale totale di V sarà senz’altro la somma di derivate parziali di V rispetto al tempo e alle 3 coordinate spaziali, per maggiori dettagli si veda la parte di fluidodinamica). Lo facciamo anche perchè non ci interessa avere esplicito il termine avvettivo. Quindi l’equazione di Eulero è ora così scritta:

se la V è quella sopra V= Vr+Ωxr, le accelerazioni sono le seguenti:

I primi due termini sono l’accelerazione associata alla velocità Vr, per la quale abbiamo una componente sul sistema di riferimento rotante con la terra e un’altra componente dovuta alla rotazione terrestre (Ωxv). Stessa cosa per l’altra velocità, Ωxr. Anch’essa avrà associata un’accelerazione data dalla somma di due contributi.

Verifichiamo subito che il termine ΩxΩxr è molto piccolo, infatti la velocità angolare di rotazione terrestre è dell’ordine di 10 alla potenza -4, e con r (raggio terrestre) dell’ordine di 10 alla 6 tutto il prodotto è dell’ordine di 10 alla -2. Portiamo questo termine all’altro membro e sommato alla gravità (le due accelerazioni agiscono entrambe lungo z), questa accelerazione viene inclusa in g, come piccola correzione. Il risultato finale è il seguente:

(si è esplicitato il segno meno alla gravità in quanto diretta verso il basso) il termine forzante di coriolis è il 2ΩxV (togliamo il pedice r per comodità sottintendendo che stiamo guardando l’equazione sul sistema di riferimento rotante).

Le nostre equazioni sono quasi riadattate al caso della nostra atmosfera, manca un’ultima osservazione da fare:

in generale nella nostra atmosfera la pressione scende esponenzialmente con la quota, i venti sono prevalentemente sul piano e quindi la colonna d’aria piuttosto stratificata. In sostanza, le velocità verticali sono piccole, ancor più le accelerazioni verticali. Questo non è vero all’interno dei cumulonembi come sappiamo, ma i cumulonembi sono isolati punti della superficie terrestre dove questa condizione non vale, di base l’aria è stratificata, almeno se si guarda la circolazione generale dell’atmosfera. Se dunque prendiamo la terza delle 3 equazioni del vento, possiamo trascurare tutte le accelerazioni verticali: ne viene fuori un equilibrio, noto come equilibrio idrostatico che assumeremo essere sempre valido.

Le equazioni sono ora ulteriormente semplificate:

nell’equazione per la verticale non è stato riportato il termine di coriolis,che come possiamo ben immaginare varia sul piano e non sulla verticale. Questo aspetto sarà più chiaro nel prossimo articolo. La soluzione e discussione dell’equilibrio idrostatico è riportata su un altro articolo.

La relazione che ci interessa dunque è quella delle velocità orizzontali, per studiare la dinamica circolatoria. Guardiamo le due equazioni per il vento in x e y. Notiamo che nel prodotto scalare del vento col gradiente nel termine avvettivo, la velocità verticale compare (ricordiamo che quel prodotto scalare scritto in forma non compatta è una Vx*d/dx+ Vy*d/dy+ Vz*d/dz). Non possiamo trascurare quel pezzo, perchè non è detto che la derivata in z del vento sul piano (indicato col pedice H) sia piccola, potrebbe essere grande abbastanza da rendere la terza componente di quel prodotto scalare grande come gli altri e compensare Vz che è dell’ordine di qualche cm al secondo in una atmosfera stratificata. La derivata del vento orizzontale con la quota, ossia la variazione del vento (sul piano) con la quota, si chiama shear. Lo shear del vento è importante in alcuni fenomeni atmosferici, quando quel termine è grande le celle temporalesche possono essere messe in rotazione con formazione di tornado. Ma lo shear è importante anche in zona tropicale, infatti zone a basso/bassissimo shear (quindi quando il vento varia poco/pochissimo con la quota) sono propense allo sviluppo degli uragani. Da qui partiremo per ricavare importanti elementi di dinamica atmosferica.

A cura di Claudio Giulianelli, Centro Meteo per l’Etruria e Roma.

A cura di CEMER – Centro Meteo per l’Etruria e Roma

1) Meteorologia dinamica – Introduzione

31 Dic, 2019
Meteorologia dinamica – Introduzione
di Claudio Giulianelli

Villa San Giovanni in Tuscia (VT), 31 Dicembre 2019 – Lo scopo della rubrica “fisica dell’atmosfera” inaugurato a partire da oggi, sarà quello di spiegare in maniera completa (tramite equazioni matematiche) le dinamiche su larga scala che governano il tempo meteorologico. Gli argomenti saranno affrontati direttamente da un punto di vista fisico-matematico e per poter riuscire a comprenderli appieno è consigliato avere delle basi di calcolo vettoriale, analisi matematica ed equazioni differenziali, seppur non in maniera approfondita. Queste nozioni saranno date per note, anche se una loro breve spiegazione verra data in un articolo a parte di introduzione alla fluidodinamica. Chi leggerà questi articoli avendo fatto un percorso di studi scientifico potrà comprendere bene gli argomenti qui trattati (Fisica, Matematica, Ingegneria in primis) ma le conclusioni saranno sempre tratte alla fine di ogni spunto e, ripeto,  spiegate all’atto pratico, quindi tutti, meteoappassionati e non, potranno comprendere il significato essenziale di quanto verrà qui esposto. Questo approccio alla meteorologia non è affatto diffuso sul web ed in generale nei libri di meteorologia che si possono trovare in giro, di solito molto più discorsivi che formali. Occorrerebbe infatti avere un po’ di conoscenze base di matematica che viene affrontata solo a livello universitario, dunque non è adatta a tutti ed è la via più difficile per giungere alle stesse conclusioni che potreste trovare in manuale di meteorologia “discorsivo”. Perchè allora scegliere questo approccio alla meteorologia?
I motivi ricadono nel fatto che la matematica che useremo ci darà dei risultati indiscutibili, la cui interpretazione non potrà mai essere messa in dubbio da nessuno. Questo vuol dire essere in grado di smentire le tante bufale che girano sul web tra tanti improvvisati meteorologi che hanno affrontato la materia da autodidatti e senza mai argomentare o dimostrare. Solo insistendo in questo modo, per quanto possa risultare difficile, si riescono infatti a capire le motivazioni profonde della dinamica meteorologica, in quanto sarà una teoria che costruiremo passo passo.
Detto ciò, ci si arma di tanta pazienza, e si affronta la meteorologia nel modo migliore possibile, passando tramite la fisica e la matematica.
Il primo passo per affrontare la meteorologia dinamica è quello di scrivere le equazioni del moto per un fluido in generale. Quello che faremo infatti sarà prendere le equazioni universalmente valide per un fluido e riadattarle per il sistema terra, per la nostra atmosfera. Le equazioni in questione che descrivono il moto di un fluido, le Navier-Stokes, sono ricavate in una serie di articoli più generali di fluidodinamica,  Qua saranno riprese e sviscerate nel caso particolare della loro applicazione alla nostra atmosfera.
Le equazioni sono le seguenti:

La loro derivazione è fatta nella parte di fluidodinamica. Noi qui cominceremo a dare significato fisico a tutti i termini di questa equazione.
Notiamo anzitutto che l’espressione scritta è una sola, ma si ricorda che v è un vettore di 3 componenti (la direzione x del vento, ossia quella ovest-est, è chiamato vento “zonale”, la componente y, ossia quella nord-sud, è chiamato vento “meridionale”, la direzione z, ossia quella verticale, è chiamato vento verticale). Dunque questa espressione si può esplicitare in 3 equazioni per le 3 componenti del vento, mentre quella usata sopra è una notazione compatta. Questa complicata equazione non è altro che il secondo principio della dinamica, abbiamo posto un uguaglianza tra forze agenti in atmosfera (gradienti di pressione, attriti e forze esterne) e accelerazione del sistema (nel membro di sinistra abbiamo derivate delle velocità che dimensionalmente sono delle accelerazioni). Per quanto riguarda la massa, stiamo considerando forze per unita di volume, l’unica cosa che ha senso per un gas. Quindi al posto della massa usiamo la densità. Per comodità abbiamo diviso tutto per la densità. Le parentesi al secondo termine, che racchiudono il prodotto scalare tra le componenti del vento e l’operatore di gradiente, vogliono dire che per l’equazione di ogni componente del vento dobbiamo fare la derivata in x, y, e z ognuna moltiplicata per la componente x, y,e z del vento, e sommare questi 3 oggetti. Esplicitiamo l’equazione sopra dunque perchè in qualche caso ci tornerà utile avere le equazioni separate nelle 3 componenti del vento:

le prime 3 sono le equazioni per le tre componenti del vento. Per poter essere risolte al computer (non analiticamente per due motivi: il primo è che sono molto complicate, il secondo è che non esiste una soluzione analitica), vediamo che ci servono altre equazioni per la pressione e la densità. Si introduce quindi la quarta equazione, nota come equazione di continuità o di conservazione della massa, anch’essa non in notazione vettoriale, e per risolvere la pressione è stata introdotta l’equazione di stato dei gas perfetti. Purtroppo però quest’ultima dipende da un’altra incognita che è la temperatura, quindi viene introdotta l’ultima equazione nota come equazione del calore, espressa in termini di theta ,la temperatura potenziale, dove Q sono le sorgenti di calore (d’ora in avanti useremo la temperatura potenziale, la quale sarà spiegata in un altro articolo e perchè la utilizziamo al posto della temperatura). Questo set di 6 equazioni in 6 incognite (le 3 componenti del vento, densità, pressione e temperatura) può essere risolto e ci fornisce le previsioni.
Cominciamo subito col notare che nelle 3 equazioni del vento, per la componente verticale abbiamo posto la gravità come forza esterna (l’ultimo termine delle equazioni del vento, dove g è un vettore di componenti (0,0,-g)), mentre nessuna forza esterna sul piano x,y. D’ora in poi questo sarà sempre vero. Al riguardo ci si potrebbe divertire a cercare altre soluzioni a queste equazioni, se per esempio uno volesse mettere le forze elettromagnetiche come forze esterne (per esempio in una soluzione di acqua e sale). Facciamo immediatamente un’altra considerazione: il problema dell’attrito (il penultimo termine delle equazioni del vento, con “nu” viscosità del fluido che moltiplica la derivata seconda della componente del vento). Per quello che si legge spesso sul web, l’attrito è usato come capro espiatorio per tutti i problemi relativi alla meteorologia. In realtà la nostra atmosfera è uno dei fluidi in cui l’attrito non ci rovina tutto e possiamo dunque fare una trattazione fisico-matematica molto buona di vari fenomeni meteorologici. Se si pensa a cos’è l’attrito di un fluido questo aspetto si chiarisce subito.
L’attrito è un qualunque tipo di forza che cerca di ostacolare il moto, frenandolo. Di solito quando si pensa all’attrito si pensa al trascinamento di un oggetto su una superficie ruvida. In realtà se si osserva il nostro termine di attrito compare il coefficiente di viscosità. Quindi la viscosità del fluido è un’altra forma di attrito, infatti nei fluidi ad ostacolare il moto è anche l’interazione che può esserci a livello chimico tra le molecole e le forze elettrostatiche che cercano di tenerle insieme. Queste forze di coesione per esempio sono ben più forti in acqua, tanto che alcuni piccoli insetti riescono a poggiarvisi sopra senza affondare e bagnarsi. Se si pensa ad un gas ,lo immaginiamo come una nuvola di particelle dove ognuna corre per i fatti suoi e le interazioni avvengono solo per urti. Questo vuol dire che se al suolo è presente un effetto di attrito per sfregamento (il vento contro i rilievi, analogamente al trascinamento di un oggetto su una superficie ruvida), le alte quote risentono in minima parte degli effetti del suolo (alla fine quantificheremo questi effetti), infatti i venti alle alte quote sono piuttosto forti e il moto disordinato degli strati inferiori dunque rimane per lo più confinato alle basse quote. La viscosità dell’aria è davvero bassa (dell’ordine di 10 elevato alla -7 e fino a 10 alla -9 nella zona di nostro interesse,ossia la medio -alta troposfera) e dunque gli strati superiori di atmosfera non risentono di ciò che succede sotto nell’immediato e sono liberi di muoversi per i fatti loro. Anche senza questo ragionamento, il solo fatto che la viscosità sia un numero così piccolo ci porta a conclusione che il termine di attrito viscoso può essere preso nullo, trascurato rispetto agli altri termini dell’equazione. Ovviamente per le basse quote un termine di attrito col suolo va preso in considerazione, e verrà discusso alla fine. Infatti per quanto detto, possiamo concludere che gli effetti dell’attrito sono trascurabili già in medio-alta troposfera almeno su scale temporali dell’ordine di alcuni giorni. Siccome a noi interessa la dinamica atmosferica in libera atmosfera, togliamo l’attrito. E anche questo sarà vero per quasi tutta la nostra trattazione che si occuperà sempre della libera atmosfera. Solitamente l’attrito risulta trascurabile fino ai 500 hpa nel breve termine, ed è per questo che risulta una importante quota, tale da essere presa come riferimento assieme alla pressione al suolo nelle mappe meteorologiche.
Concludiamo dunque, per il momento, che il nostro punto di partenza saranno le cosiddette equazioni di Eulero (Navier-Stokes senza attrito) riscritte per l’atmosfera:

Queste andranno ulteriormente modificate e approssimate per ritrovare alcuni elementi di dinamica atmosferica.